209. Paradojas matemáticas

Hace cerca de dos meses escribí un post sobre curiosidades gramaticales (#183) que muchos de mis seguidores encontraron sorprendente, aunque parte de él circula por Internet en diferentes versiones. Este podría ser algo similar, con la salvedad de que yo no soy experto en matemáticas, disciplina a la que siempre me he aproximado desde un punto de vista más filosófico, “de letras”, aunque fascinado por cuestiones como la precisión, la inevitabilidad, la perfección de las ecuaciones, que funcionan como máquinas.

Mi amigo Martín Carril se acercó también al tema con una perspectiva similar en su libro Cuentos Matemágicos, (Adeire, 2007), en el que convierte en relatos algunos de los teoremas y axiomas más enrevesados. La geometría y la aritmética son ciencias eminentemente abstractas, pero están presentes en la naturaleza, por lo que su conocimiento ayuda a entender la realidad. Fue precisamente Pitágoras, un matemático, quien en el siglo VI aC.  llegó a la conclusión de que el Universo era inteligible, piedra angular sobre la que se basa todo el pensamiento científico occidental.

Pero los matemáticos gustan de jugar con sus conceptos, de forma que pueden llevarte a conclusiones imposibles. Es conocido el caso de Zenón de Elea (siglo V aC), capaz de demostrar que, en una carrera teórica, Aquiles, el hombre más rápido sobre la tierra, sería incapaz de alcanzar a una tortuga a la que le diera 100 metros de ventaja. Cada vez que Aquiles hiciera un trayecto, la tortuga avanzaría algo, aunque fuera poco. De forma que, cuando Aquiles hubiera cubierto los 100 metros, la tortuga ya no estaría en la posición inicial A, sino en otra B. Y cuando Aquiles llegara a B, la tortuga habría llegado a C. Aquiles necesitaría un número infinito de avances para llegar a la tortuga, luego nunca podría alcanzarla.

Zenón de Elea era un cachondo y todo el mundo sabía que su teoría era falsa, pero los matemáticos tardaron 24 siglos en demostrar esa falsedad. No se pudo rebatir al bueno de Zenón hasta que se enunció la Teoría de los Límites, en el XIX, teoría que demuestra que la suma de un número infinito de magnitudes decrecientes se convierte en un número finito, que define su límite. La demostración de un axioma matemático a veces entraña una dificultad grande. En tiempos más recientes, otros matemáticos han ideado chascarrillos aparentemente absurdos, con los que divierten e intrigan especialmente a los niños. A mí siempre me han gustado dos de estos acertijos, los que les cuento a continuación. Son bastante conocidos y es muy posible que ya los hayan oído, pero igual se los propongo, por si no los conocen.

1.- Los 17 camellos

Un pastor nómada del Sáhara muere teniendo como única riqueza los 17 camellos de los que vivía. Sus tres hijos buscan entre sus ropas y encuentran su testamento. Al mayor, su preferido, le deja la mitad de sus posesiones. Al segundo, le deja un tercio. Al pequeño, que nunca le mostró el debido respeto, le deja únicamente una novena parte.

Los tres hermanos empiezan a pelear, porque ¿cómo dividir los camellos por dos, tres o nueve? Deberían de matar algunos, para repartirse sus restos, pero eso les haría a todos más pobres. Cuando ya están llegando a las manos, el mayor propone ir a consultar al oulema del pueblo más cercano, que tiene fama de sabio. Llegan, le cuentan su problema y esperan.

El oulema reflexiona un buen rato y finalmente dice: “ya tengo la solución”. Los tres le miran sorprendidos. El hombre sale afuera, regresa con su propio camello y dice: “tomad, mi camello, llevároslo y haced vuestro reparto”. ¿Y cómo habremos de pagarte por tu camello? –le preguntan. Haced vuestro reparto –insiste– y sabréis qué hacer al final.

Los hermanos vuelven a casa y empiezan el reparto. Al tener un camello adicional, suman 18. De modo que el mayor se queda con la mitad: 9. A continuación, el segundo se adjudica un tercio: 6 camellos. Por último, el pequeño hace la cuenta: un noveno de 18 son 2 camellos. En total, han escogido 9+6+2 camellos = 17 camellos. Les sobra el del oulema, así que regresan al pueblo y se lo devuelven, con el agradecimiento a su sabiduría. 

 

No me digan que no es una historia sugerente. La explicación se basa en la teoría de las fracciones y no creo que les resulte muy difícil llegar a ella. El segundo caso tiene más miga y además se lo cuento sin resolver, para que encuentren ustedes mismos la solución. No es mi intención dificultar su sueño en esta noche fría que se avecina, sino que hagan un poco de gimnasia cerebral, algo siempre conveniente. Que lo disfruten

2.- El cuento de los tres comensales

Se trata de tres amigos, ya mayores, que todos los martes acuden juntos al mismo restaurante a comer en amor y compaña. El precio del menú del restaurante es de 10€, pero el dueño del local premia su fidelidad haciéndoles un precio especial conjunto de 25€, lo que les pone muy contentos.

Cada martes, a la hora de pagar, cada uno de los señores pone 10€  y le dan los 30€ totales al dueño, el cual les devuelve 5€ que se guarda cada día uno, alternativamente, siguiendo un turno que todos respetan. Es como un ritual del que todos disfrutan.

Pero un día, la cosa falla. Resulta que el dueño del restaurante ha contratado a un meritorio, becario, o niño zangolotino, para que le ayude y vaya aprendiendo poco a poco los secretos del negocio. Cuando los señores terminan de comer, ponen los 30€ de costumbre sobre el platillo. El chaval, los recoge, los guarda en el cajetín correspondiente y cierra la caja. Desde el fondo, el dueño pregunta: ¿Cuánto les has cobrado? Respuesta: 30€, tres por diez, treinta. Sí –responde a su vez el dueño–, pero es que estos son clientes especiales y sólo les cobro 25, así que haz el favor de coger 5€ de la caja y se los devuelves.

El chaval, que es un poco pardillo, abre la caja y coge cinco monedas de 1€ para devolvérselas. Pero entonces se le plantea un problema: ¿cómo hago yo para repartir 5€ entre tres personas? Después de mucho cavilar, encuentra una solución que le parece perfecta: le da una moneda a cada uno de los señores, y se guarda en el bolsillo las dos que le sobran, a modo de propina. Los amigos observan el cambio de su rutina habitual, pero no dicen nada, porque son educados y discretos.

FIN DE LA HISTORIA. Y ahora: PREGUNTAS.

¿Cuánto ha pagado cada señor? Pues, de entrada, 10€, pero luego les han devuelto 1€ a cada uno. Es decir, cada uno ha pagado 10-1= 9€

¿Cuánto han pagado, pues, en total?: 9x3=27€

O sea, que los señores han pagado 27€. Más 2€ que se ha guardado el chaval en su bolsillo, nos llevan a un total de 27+2= 29€.

Pero nosotros sabemos que en la historia han entrado en liza 30€

¿Dónde está el euro que falta?